3D旋转公式

Rodrigues's Rotation Formula 3D旋转公式
$v^{‘} = cos(\theta)v + ( 1 - cos(\theta))(u\cdot v)u + sin(\theta)(u\times v)$

四元数

四元数与复数十分类似，不同之处为四元数有3个虚部而复数只有1个虚部
所有四元数$q \in H, q = a + bi + cj + dk， i^2 + j^2 = k^2 = ijk = -1$

$q = \left[ \begin{matrix} a\\ b\\ c\\ d \end{matrix} \right] \tag{4}$

或者将四元数的实部与虚部分开表示

$q = \left[ \begin{matrix} s & v \end{matrix} \right] \tag{5}$ $v = \left[ \begin{matrix} x\\ y\\ z \end{matrix} \right] \tag{4}$

加减法/与标量乘法类比向量

乘法不支持交换律

$q_1 = [s, v] , q_2 = [t, u]$
$q_1q_2 = [st - v\cdot u, su + tv + v\times u]$

$q^* = [s, -v]$
$qq^* = q^*q = ||q||^2$
满足交换律

定义$qq^{-1} = 1$
同时左乘$q^*$得$q^*qq^{-1} = q^*$
$||q||^2q^{-1} = q^*$
$q^{-1} = \frac{q^*}{||q||^2}$

设三维点$p = [x, y, z]$, 进行由轴角$n, \theta$指定的旋转，旋转之后得到的点为$p^r$

首先将$p$用四元数$ [0, x, y, z]$表示, 用四元数$q = [cos\frac{\theta}{2}, nsin\frac{\theta}{2}]$表示旋转

则 $p^r = q p q^{-1}$